Saga

（G，* )是半群，则以下条件等价：

（1） G是群

（2） （G， *）有左单位元和左逆

（3） （G，*）中方程ax = b 和 ya = b 有解

证明：

（2）——（1）

设b*a = eL(左单位元）。则b = a-L(a的左逆）

因为a*b = eL*a*b  eL = b-L*b 所以 a*b = b-L*b*a*b

因为b*a=eL，所以a*b = b-L*b = eL

因为a*b*a = a*eL    a*b=eL

所以a = a*eL

证明eL也是右单位元

那么eL = e

因为a= b-L，所以b*b-L = e，那么b-L也是右逆。

说明半群存在单位元和逆元，则G是群。

（3）——（2）

由（3）可知：ya = a 有解

则不妨设y = eL

则要证明：对于任意b属于G，yb = b

因为ax = b有解，设解为c

则有yac = ac

即yb = b

得证。

则存在左单位元eL

则有ya = eL有解

所以y = a-L，则有左逆。

证毕

因为（3）——（2）——（1），（1）又明显能得到（2），（3）。所以，（1），（2），（3）等价。

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偶然翻到笔记，看到这道证明题，于是就又证明了一次...这貌似是大学数学唯一一门没考到85的。（虽然学的是设计...但是还是对数字什么的无比感兴趣啊）

记得老师说，这玩意儿只要学过加减乘除就能学了

但是学起来才发现，它是那么的纠结。

或许，我们的世界就是如此吧

越是看似简单的东西，反而越难完成...